Linear Algebra Done Right 习题解

已经颓废到感冒的地步了。
马上要去ctsc了……感觉这状态有点感人。
顺便之所以选择更这个,是因为这玩意我没怎么找到找到中文题解,加上书后没题解(某混凝土比它不知道高到哪里去了),所以就写一写凑字数了。当然最后肯定会坑掉的【并不

第一章 向量空间

前置约定:
表示
表示上的向量空间。

1.设是不全为的实数.求实数和实数,使得

sol
意义不明的一题,似乎是检验中学数学有没有学好……不过推了一下发现和复反演有点像(火星了)
显然有

思考了一下发现这题好像是在说证明中任意一个数都有乘法逆

2.证明

的立方是1
sol
同样意义不明的一题。这个自行计算就能证明吧。

3.证明对于,都有
sol
满满的“这tm也用证”的槽点。
显然的加法逆是
显然的加法逆是
由线性空间的加法逆唯一性,所以

4.证明,若,则
sol
显然如果,那么
假设
那么
那么,与假设矛盾,所以命题得证。

5.判断以下的以下子集是不是的子空间:

sol
第一章前面的意义不明的题目太多……都不想写题解了T_T。
由定义和性质很容易判断是,不是。

6.举出的一个非空子集的例子,使得它满足性质若则存在,但不是一个子空间。
sol
显然集合满足这个条件,但不满足对标量乘法封闭这个条件。

7.举出的一个非空子集的例子,使得它满足对标量乘法封闭,但不是一个子空间。
sol
显然的集合就是一个满足条件的解。

8.证明的任意一组子空间的交都是的子空间。
sol
显然就是要证明的任意一对子空间的交都是的子空间。
假设有一对子空间,考虑是不是子空间。
先考虑加法单位元,显然,所以
然后考虑加法封闭性。
假设存在
那么,所以有
同理有
所以
综上加法封闭性得证。
然后考虑标量乘法封闭性。
依旧是类似加法封闭性的推导方法……
总之就略了。
然后轻松证出这三个性质之后,由子空间的定义,就得证了。

9.证明两个子空间的并是的子空间当且仅当其中一个子空间包含在另一个子空间之中。
sol
显然,如果一个子空间包含在另一个子空间中,那么它们的并自然是一个子空间(充分条件get!)
只要证明如果“其中一个子空间包含在另一个子空间之中”这个条件不成立的话,那么两个子空间的并不是子空间就好了。
反证一下……
假设有子空间,并且
假设
那么
如果,那么
所以,与假设矛盾。
同理也会矛盾。
所以得证……

10.设的子空间。求
sol
神经病题目……这tm不显然是U么……

11.如果的子空间,那么是否有:?是否有
sol
神经病题目,这tm不显然是对的么……

12.的子空间的加法有单位元吗?哪些子空间有加法逆?
sol
神经病题目,显然是单位元之一(应该没有其它单位元了大概?)
显然只有有加法逆,加法逆是它自己。

13.证明或举反例,如果的子空间。
,那么
sol
还是一道神经病题目。
我不会说我一开始没看到或举反例四个字而努力考虑怎么证明它而浪费了10分钟的黑历史。
显然只要随便是啥子空间都无所谓了。

14.设是所有形如

的多项式组成的子空间,球一个空间使得
sol
出题意义何在系列。
懒得写什么了。

15.证明或举反例,如果的子空间。
,那么
sol
虽然这个看起来比13靠谱多了……
但是依旧是错的……
事实上如果把看作平面的话。
任意三条不同的过原点的直线的点集分别作为都可以成为反例……

感觉排版好累啊……暂时就更一章好了……(不用Texmacs写这个的我到底是多无聊……浪费这么多时间排版
下面几章可能就是直接全tex化了……

第二章 有限维向量空间

1.证明:如果张成,那么由每个向量(最后一个向量除外)减去最后一个向量所得到的组

也张成

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